Question

已知函数f(x)=m(x+

1

x

)的图象与h(x)=-

1

4

(x+

1

x

)的图象关于y轴对称．
（Ⅰ）求m的值； 
（Ⅱ）若g(x)=f(x)+

a

4x

（a∈R），试讨论函数g（x）的单调性．

Answer 1

（I）函数h(x)=-

1

4

(x+

1

x

)的图象关于y轴对称的图象对应的解析式为：
y=-

1

4

(-x+

1

-x

)=

1

4

(x+

1

x

)
故m=1
（II）由（I）中f（x）=

1

4

(x+

1

x

)
故g(x)=f(x)+

a

4x

=

1

4

(x+

1

x

)+

a

4x

=

x

4

+

a+1

4x

∴g′（x）=

1

4

-

a+1

4x2

=

x2-(a +1)

4x2

当a+1≤0，即a≤-1时，g′（x）≥0恒成立
此时g（x）在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上为增函数；
当a+1＞0，即a＞-1时，
若x∈（-∞，-

a+1

）∪（

a+1

，+∞）时，g′（x）＞0；
若x∈（-

a+1

，

a+1

）时，g′（x）＜0；
此时g（x）在区间（-∞，-

a+1

）和（

a+1

，+∞）上为增函数；
在区间（-

a+1

，

a+1

）上为减函数；