Question

已知圆C：x²＋y²＋x－6y＋m＝0与直线l：x＋2y－3＝0.

(1)若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；

(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．

Answer 1

 (1)将圆的方程配方，

得(x＋)²＋(y－3)²＝，

故有>0，解得m<.

将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，得

消去y，得x²＋()²＋x－6×＋m＝0，

整理，得5x²＋10x＋4m－27＝0，①

∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解，

∴Δ＝10²－4×5(4m－27)<0，解得m>8.

∴m的取值范围是(8，)．

(2)设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

由OP⊥OQ，得＝0，

由x₁x₂＋y₁y₂＝0，②

由(1)及根与系数的关系得，

x₁＋x₂＝－2，x₁·x₂＝③

又∵P、Q在直线x＋2y－3＝0上，

∴y₁·y₂＝＝[9－3(x₁＋x₂)＋x₁·x₂]，

将③代入上式，得y₁·y₂＝，④

将③④代入②得x₁·x₂＋y₁·y₂

＝＝0，解得m＝3，

代入方程①检验得Δ>0成立，∴m＝3.