Question

20．已知f（x）=2x-x²，g（x）=f（3-x²），则函数g（x）的单调递增区间为（-∞，$-\sqrt{2}$）和（0，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 利用代入法，求出函数g（x）的解析式，进而利用导数法可得函数g（x）的单调递增区间．

解答 解：∵f（x）=2x-x²，
∴g（x）=f（3-x²）=2（3-x²）-（3-x²）²=-x⁴+4x²-3，
∴g′（x）=-4x³+8x=-4x（x+$\sqrt{2}$）（x-$\sqrt{2}$），
令g′（x）＞0，则x∈（-∞，$-\sqrt{2}$）∪（0，$\sqrt{2}$），
故函数g（x）的单调递增区间为（-∞，$-\sqrt{2}$）和（0，$\sqrt{2}$），
故答案为：（-∞，$-\sqrt{2}$）和（0，$\sqrt{2}$）

点评 本题考查的知识点是函数的单调区间，导数法研究函数的单调性，代入法求函数的解析式，难度中档．