Question

5．求值域：
（1）y=$\frac{{x}^{2}-x+3}{{x}^{2}-x+1}$；
（2）y=$\frac{{x}^{2}-4x-5}{{x}^{2}-3x-4}$；
（3）y=2x-$\sqrt{x-1}$；
（4）y=2x+$\sqrt{9-{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）该函数可以变成$y=1+\frac{2}{{x}^{2}-x+1}$，从而可配方求x²-x+1的范围，从而得出$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$的范围，即得出该函数的值域；
（2）该函数可以变成$y=\frac{（x-5）（x+1）}{（x-4）（x+1）}=1-\frac{1}{x-4}$，从而可以看出x≠-1，从而可得到$y≠\frac{6}{5}$，并且可以看出y≠1，这样便得出了该函数的值域；
（3）原函数带根号，从而可考虑换元去根号：令$\sqrt{x-1}=t，t≥0$，可以解出x，这样可得到y=2t²-t+2，这样变成求二次函数的值域，配方即可求出该二次函数在t≥0上的值域；
（4）函数解析式中带根号，可考虑平方去根号：（y-2x）²=9-x²，然后可以整理成关于x的一元二次方程的形式，方程有解，从而△≥0，这样即可求出y的范围，即得出原函数的值域．

解答 解：（1）$y=\frac{{x}^{2}-x+3}{{x}^{2}-x+1}=1+\frac{2}{{x}^{2}-x+1}$；
${x}^{2}-x+1=（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$；
∴$0＜\frac{1}{{x}^{2}-x+1}≤\frac{4}{3}$；
$1＜y≤\frac{11}{3}$；
∴该函数的值域为（1，$\frac{11}{3}$]；
（2）由原函数得，$y=\frac{（x-5）（x+1）}{（x-4）（x+1）}=\frac{x-5}{x-4}=\frac{x-4-1}{x-4}=1-\frac{1}{x-4}$；
∵x≠-1；
∴$y≠\frac{6}{5}$；
且$\frac{1}{x-4}≠0$；
∴y≠1；
∴原函数的值域为：{y|y$≠\frac{6}{5}$，且y≠1}；
（3）令$\sqrt{x-1}=t$，t≥0，则x=t²+1；
∴y=2（t²+1）-t=2t²-t+2=$2（t-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}$；
∵t≥0；
∴$y≥\frac{15}{8}$；
∴该函数的值域为：[$\frac{15}{8}，+∞$）；
（4）由原函数得，（y-2x）²=9-x²；
整理成，5x²-4yx+y²-9=0，看成关于x的一元二次方程，方程有解；
∴△=180-4y²≥0；
解得$-3\sqrt{5}≤y≤3\sqrt{5}$；
∴原函数的值域为：$[-3\sqrt{5}，3\sqrt{5}]$．

点评 考查函数值域的概念，分离常数求函数值域的方法，配方求二次函数值域的方法，通过分解因式，将分子分母含二次的式子变成一次的方法，换元去根号或两边平方去根号的方法求含根号的函数的值域的方法，以及一元二次方程有解时，判别式△的取值情况．