Question

15．已知cosα=$\frac{4}{5}$，cos（α+β）=$\frac{3}{5}$，且α，β均为锐角，求sin2β的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 sin（α+β）的值，再利用两角和差的三角公式求得sinβ、cosβ的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2β的值．

解答 解：∵cosα=$\frac{4}{5}$，cos（α+β）=$\frac{3}{5}$，且α，β均为锐角，∴sin（α+β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+β）}$=$\frac{4}{5}$，
∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$\frac{4}{5}×\frac{4}{5}$-$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{7}{25}$
cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=$\frac{3}{5}×\frac{4}{5}$+$\frac{4}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{24}{25}$．
∴sin2β=2sinβcosβ=2×$\frac{7}{25}$×$\frac{24}{25}$=$\frac{336}{625}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．