Question

已知函数f（x）=2

3

sinx•cosx+2cos2x-1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若sinα+cosα=

1

2

，求f(α+

5π

12

)的值．

Answer 1

分析：（1）利用和差角公式及倍角公式对f（x）进行化简，根据周期公式可求得最小正周期；
（2）对sinα+cosα=

1

2

两边平方可求得sin2α，代入f(α+

5π

12

)的表达式即可求得结果；

解答：解：（1）∵f(x)=2

3

sinx•cosx+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π；
（2）∵sinα+cosα=

1

2

，
∴sin2α=

1

4

-1=-

3

4

，
∴f(α+

5π

12

)=2sin(2α+π)=-2sin2α=

3

2

；

点评：本题考查三角函数中的恒等变换、三角函数的周期及其求法，考查学生的运算求解能力．