Question

8个人手里分别有一张卡，他们彼此送卡，要求每个人都有一张卡而且自己不能拿到自己的卡，问有多少种可能？

Answer 1

考点：计数原理的应用

专题：计算题,排列组合

分析：可考虑更一般的情况，即设共有n个人，可能的方法为a_n，n个人各有1张卡，他们彼此送卡，要求每个人都有一张卡而且自己不能拿到自己的卡，给这n张卡编号，第一步安排1号卡，共有n-1种方法，此时不妨把1号卡给了i号（i≠1），再安排i号卡有两种情况：①i号放在1号位置；②i号卡不安排在1号位置．由两个计数原理，即可得到a_n=（n-1）（a_n-1+a_n-2）（n＞3），再由n=2，3，4，…，8，即可得到答案．

解答： 解：设共有n个人，可能的方法为a_n，给这n张卡编号，第一步安排1号卡，共有n-1种方法，
此时不妨把1号卡给了i号（i≠1），再安排i号卡有两种情况：①i号放在1号位置，此时剩余n-2张卡要分给n-2个人，要求依然是号码均不相同，故有a_n-2种可能；②i号卡不安排在1号位置，要给n-1个人，要求依然是号码均不相同，故有方法数为a_n-1．
所以a_n=（n-1）（a_n-1+a_n-2）．
当n=2时，a₂=1，当n=3时，a₃=2，当n=4时，a₄=3（a₂+a₃）=9，
当n=5时，a₅=4（a₄+a₃）=44，当n=6时，a₆=5（a₅+a₄）=265，
当n=7时，a₇=6（a₆+a₅）=1854，
当n=8时，a₈=7（a₇+a₆）=14833．

点评：本题考查排列组合的应用题，考查两个计数原理的运用：注意分类相加，分步相乘，是一道难题．