Question

如图，已知F₁、F₂分别为椭圆左、右焦点，等腰直角三角形AF₁F₂两腰的中点M、N在椭圆上，则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据已知条件得|AF1|=

2

c，连接MF₂，容易求出|MF2|=

10

2

c，根据椭圆的定义便有

2

2

c+

10

2

c=2a，这样便可求出离心率

c

a

了．

解答： 解：∵△AF₁F₂为等腰直角三角形，|F₁F₂|=2c；
∴|AF1|=

2

c，连接MF₂，M是AF₁的中点，∴|AM|=

2 c

2

；
∴在Rt△AMF₂中，|MF2|=

( 2 c)2+( 2 2 c)2

=

10

2

c；
∴|MF1|+|MF2|=

2

2

c+

10

2

c=2a；
∴

c

a

=

10 - 2

2

，即椭圆的离心率为

10 - 2

2

．
故答案为：

10 - 2

2

．

点评：本题考查直角三角形边的关系，椭圆的焦点，以及椭圆的定义，离心率公式e=

c

a

．