Question

求函数f(x)=

1 3! A 6 x+2

1+ C 3 4 + C 3 5 +… C 3 x

(x∈N*)的最小值．

Answer 1

分析：把分母的第一项变化为C₄⁴，根据组合数的性质，首先把第一和第二项利用性质，再把所得的结果和第三项使用性质，以此类推得到分母的化简的式子，从而得到函数简化的结果，最后利用二次函数的性质得到最小值．

解答：解：由于f(x)=

1 3! A 6 x+2

1+ C 3 4 + C 3 5 +… C 3 x

=

1 3! A 6 x+2

C 4 4 + C 3 4 + C 3 5 +… C 3 x

=

1 3! A 6 x+2

C 4 5 + C 3 5 +… C 3 x

=…=

1 3! A 6 x+2

C 4 x+1

=4（x+2）（x-3）
故f(x)=4(x-

1

2

)2-25(x≥4，x∈N*)，
所以当x=4时，有f（x）的最小值为24．

点评：本题考查组合数的性质，考查性质的连续使用，是一个基础题，也是这一部分的典型题目，注意整理过程中不要漏掉项．