Question

边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C-ABD，它的主视图与俯视图如图所示，则异面直线AB与CD所成角为

60°

．

Answer 1

分析：设折叠前C点的位置为C'，AC、BD的交点为O．因为AB∥C'D，所以∠CDC'（或其补角）就是异面直线AB与CD的所成角．再根据三视图，证出CO⊥平面ABD，在Rt△OCC'中求出CC'=1进而得到△DCC'是等边三角形，由此即得∠CDC'=60°，可得面直线AB与CD所成角．

解答：解：设折叠前C点的位置为C'，AC、BD的交点为O，则
∵根据三视图，可得平面BCD⊥平面ABD，平面BCD∩平面ABD=BD且CO⊥BD
∴CO⊥平面ABD
∵OC'?平面ABD，∴CO⊥OC'
∵CO=C'O=

2

2

，∴CC'=

OC2+C′O2

=1
∵DC'=DC=1，∴△DCC'是边长为1的等边三角形，可得∠CDC'=60°
∵正方形ABC'D中，AB∥C'D，
∴∠CDC'就是异面直线AB与CD的所成角，
因此，异面直线AB与CD的所成角为60°
故答案为：60°

点评：本题以平面图形的翻折为例，在给出三棱锥的三视图的情况下求异面直线所成角．着重考查了面面垂直的性质、三视图的认识和异面直线所成角的求法等知识，属于基础题．