Question

【题目】已知圆锥曲线的两个焦点坐标是，且离心率为；

（1）求曲线的方程；

（2）设曲线表示曲线的轴左边部分，若直线与曲线相交于两点，求的取值范围；

（3）在条件（2）下，如果，且曲线上存在点，使，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据离心率可得曲线为双曲线，然后根据焦点及离心率可得，进而得到曲线方程．（2）将直线方程代入双曲线方程得到二次方程，根据题意可得该二次方程有两个负数根，结合根与系数的关系可得所求．（3）由弦长公式及（2）中实数的取值范围可得，于是可得直线AB的方程．设C（x0，y0），由条件可得，再根据点在双曲线上可求得．

（1）由e=知，曲线E是以F1（﹣，0），F2（，0）为焦点的双曲线，

且c=，，

解得，

∴b2=2﹣1=1，

故双曲线E的方程是x2﹣y2=1．

（2）由消去整理得

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由题意可得方程有两个负数根，

∴，解得，

∴实数的取值范围是．

（3）由题意及（2）得

6=||=|x1﹣x2|==，

整理得28k4﹣55k2+25=0，

解得或，

又﹣，

∴k=﹣，

故直线AB的方程为．

设C（x0，y0），由=m，得（x1，y1）+（x2，y2）=（mx0，my0），

又=﹣4，y1+y2=k（x1+x2）﹣2=8，

∴．

∵点在曲线E上，

∴，解得m=±4，

当m=﹣4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，

∴m=4为所求．