Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求平面AMC与平面ABC夹角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）以A为坐标原点AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，证明DC⊥面PAD，可得面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求出平面AMC、ABC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面AMC与平面ABC夹角的余弦值．

解答： 解：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，

1

2

）．
（Ⅰ）证明：因为

AP

=（0，0，1），

DC

=（0，1，0），
所以

AP

•

DC

=0，所以AP⊥DC．
由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，
由此得DC⊥面PAD．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．
（II）解：平面PAC的法向量为

n

=（x，y，z），
∵

AC

=（1，1，0），

MA

=（0，1，

1

2

）
∴由

n • AC =0 n • MC =0

，可得

x+y=0 y+ 1 2 z=0

∴可取

n

=（1，-1，2）
∵平面ABC的法向量

AP

=（0，0，1）
∴cos＜

n

，

AP

＞=

n • AP

| n | AP |

=

6

3

∴平面AMC与平面ABC夹角的余弦值为

6

3

．

点评：本题考查面面垂直，面面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．