Question

已知f（x）是定义在R上的增函数，对x∈R有f（x）＞0，且f（5）=1，设F（x）=f（x）+

1

f(x)

，讨论F （x）的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决．对差的符号进行判断时要注意根据其形式选择判断的方式．

解答：解：在R上任取x₁、x₂，设x₁＜x₂，
∴f（x₂）＞f（x₁），
F(x2)-F(x2)=[f(x2)+

1

f(x2)

]-[f(x1)+

1

f(x1)

]
=[f(x2) -f(x1) ][1-

1

f(x1) f(x2)

]
∵f（x）是R上的增函数，且f（5）=1，
∴当x＜5时0＜f（x）＜1，而当x＞5时f（x）＞1；
①若x₁＜x₂＜5，则0＜f（x₁）＜f（x₂）＜1，
∴1-

1

f(x1) f(x2)

＜0，
∴F（x₂）＜F（x₁）；
②若x₂＞x₁＞5，则f（x₂）＞f（x₁）＞1，
∴f（x₁）f（x₂）＞1
∴1-

1

f(x1)f(x2)

＞0
∴F（x₂）＞F（x₁）
综上，F（x）在（-∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查抽象函数单调性的证明，对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任意x₁、x₂在所给区间内比较f（x₂）-f（x₁）与0的大小，或

f(x 1)

f(x 2)

的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1=x2•

x1

x2

，x₁=x₂+x₁-x₂