Question

（19）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，

（Ⅰ）求证：面；

（Ⅱ）求二面角的大小。

（Ⅲ）求三棱锥的体积。

Answer 1

本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。

解法一：（Ⅰ）证明：取的中点，连结

       ∵分别为的中点

       ∵

       ∴面，面

     ∴面面   ∴面

（Ⅱ）设为的中点

∵为的中点   ∴   ∴面

作，交于，连结，则由三垂线定理得

从而为二面角的平面角。

在中，，

在中，

故：二面角的大小为

      （Ⅲ）

作，交于，由面得

∴面

∴在中，

∴

解法二：以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则

      

∵分别是的中点

∴

（Ⅰ）

       取n=(0,1,0)，显然n面

        ·n＝0，∴n

又面  ∴面

（Ⅱ）过作，交于，取的中点，则

设，则

又

由，及在直线上，可得:

解得

∴ ∴   即

∴与所夹的角等于二面角的大小

故：二面角的大小为

（Ⅲ）设n₁=(x₁,y₁,z₁)为平面的法向量，则n₁, n₁

     又

     ∴  

      即   

     ∴可取n₁=(4,-1,2)

     ∴点到平面的距离为

    

    ∵， 

     ∴

     ∴