Question

【题目】已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上，抛物线焦点到准线的距离为.

（1）求椭圆、抛物线的方程；

（2）过椭圆右顶点Q的直线与抛物线交于点A、B，射线、分别交椭圆于点、.

（i）证明：为定值；

（ii）求的面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）（i）证明见解析，（ii）.

【解析】

（1）由椭圆的对称性可得所给的四个点哪几个在椭圆上，代入椭圆的方程可得的值，进而求出椭圆的方程；

（2）（i）由题意可得直线的斜率不为，设直线的方程与抛物线联立求出两根之和，及两根之积可证得 为定值；

（ii）设直线的斜率，设的直线方程与椭圆联立求出的坐标，求出，的值，由（Ⅰ）可得，求出面积的表达式，由均值不等式求出面积的最小值．

（1）关于轴对称，关于轴对称，

在上，

若在上，则，

不在上，在上，

，

又，；

（2）（i）由（1）可得右顶点，由题意可得直线的不为，设，设，

将直线与代入抛物线的方程,可得

，；

所以 ，

所以为定值；

（ii），所以设直线

将直线代入中得：

所以，即；

同理得，

所以，即；

当时，.