【题目】椭圆:的左、右焦点分别是,,离心率为,左、右顶点分别为,.过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)经过点的直线与椭圆相交于不同的两点、(不与点、重合),直线与直线相交于点,求证:、、三点共线.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)根据已知可得,结合离心率和关系,即可求出椭圆的标准方程;
(2)斜率不为零,设的方程为,与椭圆方程联立,消去,得到纵坐标关系,求出方程,令求出坐标,要证、、三点共线,只需证,将分子用纵坐标表示,即可证明结论.
(1)由于,将代入椭圆方程,
得,由题意知,即.
又,所以,.
所以椭圆的方程为.
(2)解法一:
依题意直线斜率不为0,设的方程为,
联立方程,消去得,
由题意,得恒成立,设,,
所以,
直线的方程为.令,得.
又因为,,
则直线,的斜率分别为,,
所以.
上式中的分子
,
.所以,,三点共线.
解法二:
当直线的斜率不存在时,由题意,得的方程为,
代入椭圆的方程,得,,
直线的方程为.
则,,,
所以,即,,三点共线.
当直线的斜率存在时,
设的方程为,,,
联立方程消去,得.
由题意,得恒成立,故,.
直线的方程为.令,得.
又因为,,
则直线,的斜率分别为,,
所以.
上式中的分子
所以.
所以,,三点共线.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(,为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的坐标方程为,若直线与曲线相切.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)在曲线上取两点、于原点构成,且满足,求面积的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),在以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)求圆的普通方程和直线的直角坐标方程;
(2)设直线与轴,轴分别交于,两点,点是圆上任一点,求面积的最大值.
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【题目】已知两地相距,某船从地逆水到地,水速为,船在静水中的速度为.若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比,当,每小时的燃料费为元,为了使全程燃料费最省,船的实际速度应为多少?
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【题目】小刘同学大学毕业后自主择业,回到农村老家发展蜜桔收购,然后卖出去,帮助村民致富.小刘打算利用“互联网+”的模式进行销售.为了更好地销售,假设该村每颗蜜柚树结果50个,现随机选了两棵树的蜜柚摘下来进行测重,其质量分布在区间内(单位:千克)的个数:,10;,10;,15;,40;,20;,5.
(1)作出其频率分布直方图并求其众数;
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该村蜜袖树上大约还有100颗树的蜜柚待出售,小刘提出两种收购方案:
A.所有蜜柚均以16元/千克收购;
B.低于2.25千克的蜜柚以22元/个收购,高于或等于2.25千克的以30元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
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