Question

【题目】已知两地相距，某船从地逆水到地，水速为，船在静水中的速度为．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，当，每小时的燃料费为元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度应为多少？

Answer 1

【答案】当时，时航程费用最省，此时实际船速为；当时，时航程费用最省，此时实际船速为；

【解析】

根据题意可设出船每小时的燃料费与其在静水中速度的关系式，代入后求得解析式.根据速度、路程和时间的关系，表示出全称航行所需费用的关系式，结合基本不等式求得最值；当时，利用定义判断函数单调性，即可确定最小值时的速度.

设每小时的燃料费用为，比例系数为，

由船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比可得.

当，每小时的燃料费为元，代入可得，

解得，所以，

行使全称所需费用为，则

因为船在静水中的速度为．

当时，由基本不等式可得，

当且仅当时取等号，解得.

所以当时，时航程费用最省；

当时，，令

则，

任取，且，

则

因为，

所以，

即在为单调递减函数，

因而当时取得最小值，即最小值为

综上可得，当时，时航程费用最省，此时实际船速为；

当时，时航程费用最省，此时实际船速为；