Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）为曲线的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值及此时点坐标．

（3）设直线与曲线交于点，若点的坐标为，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；；（3）2

【解析】

（1）设，，利用可得点的极坐标方程，再转化成直角坐标方程；

（2）求出高的最大值，即可求得三角形面积的最大值，再联立直线与圆的方程，可求得点的坐标；

（3）将直线的参数方程代入圆的方程，利用参数的几何意义，即可得答案；

（1）设，，

为曲线的动点，，

，，

，

的直角坐标方程为.

（2）由（1）得曲线的圆心，半径为，易得，

直线的方程为，

圆心到直线的距离，

底边，高，

.

此时，点在直线与圆的交点处，

联立方程解得：，

.

（3）将直线的参数方程 (为参数)代入圆，

整理得：，

，.