Question

在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，若，，a=2，且=．
（Ⅰ）若△ABC的面积S=，求b+c的值；
（Ⅱ）若R为△ABC的外接圆半径，且2RsinB+2RsinC＜P（P为参数）恒成立，求P的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）=-cos²+sin²=
∴cosA=-
∵A∈（0，π）∴A=．
由S=cbsinA==，?bc=4，…①
又a²=b²+c²-2bccosA可得b²+c²=8…②
所以解①②可得：b+c=4 （6分）
（Ⅱ）由（I）可得B+C=
由正弦定理可得，2R=，得：b=4sinB，c=4sinC，
∴b+c=4（sinB+sinC）=4（sinB+sin（））=4sin（）
∵B∈∴sin（）∈（]，
∴2RsinB+2RsinC=b+c…
∴p＞4 （12分）
（也可用余弦定理结合基本不等式求解，解答略）
分析：（Ⅰ）通过向量的数量积，求出cosA的值，然后求出A，利用△ABC的面积S=，以及余弦定理即可求b+c的值；
（Ⅱ）通过正弦定理求出b+c的值，推出sin（）的范围，求出2RsinB+2RsinC的最大值，然后求出的取值范围．
点评：本题推出向量的数量积，考查三角函数的化简求值，正弦定理以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．