Question

（2013•嘉兴一模）已知函数f（x）=x²+bx+c，（b，c∈R），集合A={x丨f（x）=0}，B={x|f（f（x）））=0}，若A∩B≠∅且存在x₀∈B，x₀∉A则实数b的取值范围是（　　）

A．b≠0

B．b＜0或b≥4

C．0≤b＜4

D．b≤4或b≥4

Answer 1

分析：由f（f（x）））=0，把x²+bx+c=0代入，解得c=0，由此求得A={0，-b}．方程f（f（x）））=0即（x²+bx）（x²+bx+b）=0，解得x=0，或x=-b，或 x=

-b± b2-4b

2

．由于存在x₀∈B，x₀∉A，故b²-4b≥0，从而求得实数b的取值范围．

解答：解：由题意可得，A是函数f（x）的零点构成的集合．
由f（f（x）））=0，可得 （x²+bx+c）²+b（x²+bx+c）+c=0，把x²+bx+c=0代入，解得c=0．
故函数f（x）=x²+bx，故由f（x）=0可得 x=0，或x=-b，故A={0，-b}．
方程f（f（x）））=0，即 （x²+bx）²+b（x²+bx）=0，即 （x²+bx）（x²+bx+b）=0，
解得x=0，或x=-b，或 x=

-b± b2-4b

2

．
由于存在x₀∈B，x₀∉A，故b²-4b≥0，解得b≤0，或b≥4．
由于当b=0时，不满足集合中元素的互异性，故舍去，即实数b的取值范围为{b|b＜0或b≥4 }，
故选B．

点评：本题主要考查二次函数的性质，集合建的包含关系，注意检验集合中元素的互异性，属于基础题．