Question

已知定义在区间[0，1]上的函数y=f（x）的图象如图所示，对于满足0＜x₁＜x₂＜1的任意x₁，
x₂，下列结论正确的是（　　）

• A、f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁
• B、f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁
• C、

  f(x1)+f(x2)

  2

  ＞f（

  x1+x2

  2

  ）
• D、x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）

Answer 1

分析：由题意及所给的函数图形，利用导函数的几何意义可以知道概函数在定义域内单调递增但增的越来越慢即可求解．

解答：解：对于A，f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁，因为0＜x₁＜x₂＜1，所以等价于

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞1，即图形中的任意两点构成的斜率大于1，有所给图形应该在前一半的图形中斜率才大于1，故A错，
对于B，等同于A，它的图形中后一半的斜率才小于1，故B错，
对于C，任取图形中的两点（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），
则C选项中，左边的式子意义为以（x₁，0），（x₂，0），（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））这四个点为顶点的直角梯形的上下底的中位线，右边式子代表的是（x₁，0）和（x₂，0）这两点的中点处得函数值，有图可知，应该有左边的小于右边的，故C错，
对于D，x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）?

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

，由于0＜x₁＜x₂＜1，所以这个式子左边是（x₁，f（x₁））与（0，0）构成的斜率，右边是（x₂，f（x₂））与（0，0）构成的斜率，有图形可知D正确．
故选：D

点评：此题考查了在条件下对于式子的等价变形及代数式子的意义，还考查了导数的几何意义，梯形的中位线及中点处的函数值等．