Question

7．设F₁、F₂分别是离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，经过点F₂且与x轴垂直的直线l被椭圆截得的弦长为$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P、Q两点，线段AB的中点M在直线l上，求$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{1}Q}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率求得a=$\sqrt{2}$b，椭圆的通径$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）利用点差法表示出斜率，可得直线PQ的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{1}Q}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，b²=a²-c²=c²，
∴a=$\sqrt{2}$b，由经过点F₂且与x轴垂直的直线l被椭圆截得的弦长为$\sqrt{2}$，
则$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，解得：a=$\sqrt{2}$，则b=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由M在直线l上，则x_M=1，当M在直线l上，则x=1，则P（-$\sqrt{2}$，0），Q（$\sqrt{2}$，0），
则$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=（1-$\sqrt{2}$，0）（$\sqrt{2}$-1，0）=-1，
当AB的斜率存在，设AB的斜率为k，
则M（1，m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中点坐标公式可知：x₁+x₂=2，y₁+y₂=2m，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{2}+{y}_{1}^{2}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{2}+{y}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$，两式相减整理得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{（\;\;\;\;）}{（\;\;\;\;）}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
则k=-$\frac{1}{2m}$，
∴直线PQ的斜率k_PQ=2m，
直线PQ的方程y-m=2m（x-1），
$\left\{\begin{array}{l}{y=2mx-m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+8m²）x²-8m²x+2m²-2=0，
设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），则x₃+x₄=$\frac{8{m}^{2}}{1+8{m}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+8{m}^{2}}$，
则$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=（x₃+1，y₃）（x₄+1，y₄），
=（x₃+1）（x₄+1）+y₃y₄，
=x₃x₄+（x₃+x₄）+1+（2mx₃-m）（2mx₄-m），
=（1+4m²）x₃x₄+（1-2m²）（x₃+x₄）+m²+1，
=（1+4m²）×$\frac{2{m}^{2}-2}{1+8{m}^{2}}$+（1-2m²）×$\frac{8{m}^{2}}{1+8{m}^{2}}$+m²+1，
=$\frac{11{m}^{2}-1}{1+8{m}^{2}}$，
由M（1，m）在椭圆内部，故0＜m²＜$\frac{1}{2}$，
令t=11m²-1，则m²=$\frac{{t}^{2}+1}{11}$，
则$\frac{11{m}^{2}-1}{1+8{m}^{2}}$=$\frac{11}{8}$（1-$\frac{\frac{19}{8}}{t+\frac{19}{8}}$），则t∈（-1，$\frac{9}{2}$），
则t+$\frac{19}{8}$∈（$\frac{11}{8}$，$\frac{55}{8}$），
∴$\frac{11}{8}$（1-$\frac{\frac{19}{8}}{t+\frac{19}{8}}$）∈（-1，$\frac{9}{10}$）．
$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{1}Q}$的取值范围（-1，$\frac{9}{10}$）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．