Question

已知函数f(x)=

1

(1-x)n

+aln(x-1)，其中n∈N^*，a为常数．
（Ⅰ）当n=1时，函数f（x）在x=3取得极值，求a值；
（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f（x）≤x-1．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域，根据函数f（x）在x=3取得极值，可得f′（3）=0，从而可得a值，再验证导数为0的左右附近，导数符号改变即可；
（2）欲证：“f（x）≤x-1”，当x≥2时，对任意的正整数n，恒有

1

(1-x)n

≤1，故只需证明1+ln（x-1）≤x-1．
令h（x）=x-1-[1+ln（x-1）]=x-2-ln（x-1），利用导函数，可得函数的单调性，从而有x≥2时，h（x）≥h（2）=0，故问题得证．

解答：（Ⅰ）解：由已知得函数f（x）的定义域为{x|x＞1}，
当n=1时，f(x)=

1

1-x

+aln(x-1)，所以f′（x）=

1-a+ax

(1-x)2

．
∵函数f（x）在x=3取得极值，
∴f′（3）=0
∴1-a+3a=0
∴a=-

1

2

∴f′(x)=

3-x

2(1-x)2

∴函数在（1，3）上，f′（x）＜0；在（3，+∞）上，f′（x）＞0
∴a=-

1

2

时，函数f（x）在x=3取得极值
（Ⅱ）证明：当a=1时，f(x)=

1

(1-x)n

+ln(x-1)
当x≥2时，对任意的正整数n，恒有

1

(1-x)n

≤1，
故只需证明1+ln（x-1）≤x-1．
令h（x）=x-1-[1+ln（x-1）]=x-2-ln（x-1），x∈[2，+∞），
则h′(x)=1-

1

x-1

=

x-2

x-1

，
当x≥2时，h'（x）≥0，故h（x）在[2，+∞）上单调递增，
因此当x≥2时，h（x）≥h（2）=0，即1+ln（x-1）≤x-1成立．
故当x≥2时，有

1

(1-x)n

+ln(x-1)≤x-1．
即f（x）≤x-1．

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查利用导数的单调性证明不等式，解题的关键是将证明对任意的正整数n，当x≥2时，有f（x）≤x-1转化为证明1+ln（x-1）≤x-1，有一定的难度．