Question

等差数列{a_n}中，已知d＞0且a₂•a₃=15，a₁+a₄=8．
（1）求{a_n}的通项公式
（2）bn=

1

an•an+1

数列{b_n}的前n项和S_n，求证：Sn＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的前n项和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的性质，求出首项羽公差，即可求{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法求和，即可证明结论．

解答： （1）解：∵{a_n}是等差数列，∴a₁+a₄=a₂+a₃=8（1分）
又∵a₂•a₃=15且d＞0，
∴a₂=3，a₃=5（4分）
∴d=2，a₁=a₂-d=1（5分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1（n∈N₊）（6分）
（2）证明：b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）（9分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）（11分）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

（12分）

点评：本题考查数列的通项羽求和，考查裂项法，考查学生分析解决问题的能力，确定数列的通项是关键．