Question

如图，已知，圆O内接四边形BEGD，AB切圆O于点B，且与四边形BEGD对角线ED延长线交于点A，CD切圆O于点D，且与EG延长线交于点C；延长BD交AC于点Q，若AB=AC．
（1）求证：AC∥DG；
（2）求证：C，E，B，Q四点共圆．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,圆內接多边形的性质与判定

专题：立体几何

分析：（1）若AB=AC，由AB²=AD•AE，得AC²=AD•AE，从而△ADC∽△ACE，由此能证明AC∥DG．
（2）延长EC到P，得∠QCP=∠DGC，由B、E、G、D四点共圆，能证明C、E、B、Q四点共圆．

解答： （本小题满分为10分）
证明：（1）若AB=AC，由AB²=AD•AE，得AC²=AD•AE，
即

AC

AD

=

AE

AC

，又∠EAC=∠DAC，
∴△ADC∽△ACE，（3分）
得∠ACD=∠DEG，
又∠CDG=∠DEC=∠DCG，（5分）
∴∠ACD=∠CDG，
故AC∥DG．（6分）
（2）延长EC到P，得∠QCP=∠DGC，
∵B、E、G、D四点共圆，∴∠DGC=∠DBE，
∴∠QCP=∠DGC=∠DBE，
∴C、E、B、Q四点共圆．（10分）

点评：本题考查直线平行的证明，考查四点共圆的证明，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．