Question

已知数列{a_n}的前项和S_n=n²+2n．
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）设b_n=a_n•2^n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）在（2）的条件下，求证：数列{b_n}中任何三项都不可能成等比数列．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，a₁=S₁=3符合上式，由此得到an=2n+1，n∈N*，从而能证明数列{a_n}是等差数列．
（2）由bn=(2n+1)•2n-1，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）假设数列{a_n}中存在三项a_s，a_t，a_k（s，t，k∈N^*，且s＜t＜k）成等比数列，利用反证法能推导出这个假设不成立，从而证明数列{b_n}中任何三项都不可能成等比数列．

解答： （1）证明：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=（n²+2n）-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，
a₁=S₁=3符合上式，
∴an=2n+1，n∈N*，
∵a_n+1-a_n=[2（n+1）-1]-（2n+1）=2，
∴数列{a_n}是等差数列．
（2）解：∵bn=(2n+1)•2n-1，
∴Tn=3•20+5•2+7•22+…+(2n+1)•2n-1，
2Tn=3•2+5•22+7•23+…+(2n+1)•2n，
两式相减，得：
-Tn=3•20+2(2+22+23+…+2n-1)-（2n+1）•2ⁿ
=3+2×

2(1-2n-1)

1-2

-（2n+1）•2ⁿ，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ+1．
（3）证明：假设数列{a_n}中存在三项a_s，a_t，a_k（s，t，k∈N^*，且s＜t＜k）成等比数列，
则[（2s+1）•2^s-1]•[（2k+1）•2^k-1]=[（2t+1）•2^t-1]²，
∴（2s+1）（2k+1）•2^s+k=（2t+1）•2^2t．
①若s+k=2t，则（2s+1）（2k+1）=（2t+1）²，
∴4sk+2（s+k）+1=4t²+4t+1，
∴sk=

1

4

(s+k)2，∴s=k，与s＜k矛盾．
②若s+k＞2t，则（2s+1）（2k+1）•2^s+k-2t=（2t+1）²，
上式左边是偶数，右边是奇数，矛盾．
③若s+k＜2t，则（2s+1）（2k+1）=（2t+1）²•2^2t-（s+k），
上式左边是奇数，右边是偶数，矛盾．
综上所述，数列{b_n}中任何三项都不可能成等比数列．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列{b_n}中任何三项都不可能成等比数列的证明．解题时要注意反证法的合理运用．