Question

（1）已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，求C的方程．
（2）已知椭圆C：

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y²=8x的焦点相同，离心率为

1

2

，求椭圆C的方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,双曲线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，可得2c=10，

b

a

=

1

2

，求出a，b，可得双曲线的方程；
（2）求出抛物线的焦点坐标，利用椭圆右焦点与抛物线y²=8x的焦点相同，离心率为

1

2

，即可求椭圆C的方程．

解答： 解：（1）∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，
∴2c=10，

b

a

=

1

2

，
∴c=5，a=2

5

，b=

5

，
∴双曲线C的方程为

x2

20

-

y2

5

=1；
（2）抛物线y²=8x的焦点为（2，0），
∵椭圆C：

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y²=8x的焦点相同，离心率为

1

2

，
∴

2

m

=

1

2

，∴m=4
∴n=

42-22

=12，
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．

点评：本题考查椭圆、双曲线的标准方程，考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．