Question

已知实数x、y满足x²+y²=3（y≥0），m=

y+1

x+3

，b=2x+y．求证：
（1）

3- 3

6

≤m≤

3+ 21

6

；
（2）-2

3

≤b≤

15

．

Answer 1

考点：不等式的基本性质

专题：不等式

分析：（1）由题意可知的m=

y+1

x+3

几何意义是：圆上的点与（-3，-1）连线的斜率，作出图形，求出直线的斜率即可．
（2））b可看做斜率为-2过在圆x²+y²=3（y≥0）上点P（x，y）的直线在y轴上的截距，求出截距即可

解答： 解：（1）由题意可知的m=

y+1

x+3

几何意义是：圆上的点与（-3，-1）连线的斜率，
作出图形，可知k₁≤m≤k₂．（k₁，k₂分别为直线AM₁，AM₂的斜率），
k₁=

1

3+ 3

=

3- 3

6

，
圆心到切线k₂x-y+3k₂-1=0的距离为d=

|3k2-1|

k2 2+1

=

3

，
解得k₂=

3± 21

6

（负值舍去），
故所求m的范围是：

3- 3

6

≤m≤

3+ 21

6

．
问题得以证明．
（2）b可看做斜率为-2过在圆x²+y²=3（y≥0）上点P（x，y）的直线在y轴上的截距，由图可知n₂≤b≤n₁，P₂C的方程为y=-2（x+

3

）令x=0，
y=n₂=-2

3

，
因为圆心到切线P₁B：2x+y+c=0的距离为d=

|c|

5

=

3

，
解得c=±

15

，n₁=

15

，
∴-2

3

≤b≤

15

点评：本题是中档题，考查圆的方程与直线的斜率的关系，考查数形结合，注意圆的方程的范围，考查计算能力．