Question

已知函数f（x）=

1

x2

+4（x≠0），各项均为正数的数列{a_n}中a₁=1，

1

an+12

=f（a_n），（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在数列{b_n}中，对任意的正整数n，b_n•

(3n-1)an2+n

an2

=1都成立，设S_n为数列{b_n}的前n项和．试比较S_n与

1

2

的大小．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得

1

an+12

=

1

an2

+4，由此能求出a_n=

1

4n-3

．
（2）由已知得b_n=

an2

(3n-1)an2+n

=

1 4n-3

3n-1 4n-3 +n

=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂项求和法能求出S_n=

1

2

-

1

4n+2

＜

1

2

．

解答： 解：（1）∵数f（x）=

1

x2

+4（x≠0），
各项均为正数的数列{a_n}中a₁=1，

1

an+12

=f（a_n），
∴

1

an+12

=

1

an2

+4，
∴

1

an2

=1+（n-1）×4=4n-3，
∴a_n=

1

4n-3

．
（2）∵b_n•

(3n-1)an2+n

an2

=1，
∴b_n=

an2

(3n-1)an2+n

=

1 4n-3

3n-1 4n-3 +n

=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

），
=

1

2

-

1

4n+2

＜

1

2

．
∴S_n＜

1

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．