Question

四棱锥S-ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠DAB=135°，BC=2

2

，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点．
（Ⅰ）求证：SD∥平面CFA；
（Ⅱ）证明：SA⊥BC．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结BD交AC于E，连结EF，由三角形中位线定理能证明SD∥平面CFA．
（Ⅱ）取BC中点O，连结AO、BO，由已知条件推导出△ABC是等腰直角三角形，由此能证明SA⊥BC．

解答： 证明：（Ⅰ）连结BD交AC于E，连结EF，
由于底面ABCD为平行四边形，∴E是AD中点，
在△BSD中，F为SD中点，∴EF∥SD，
又∵EF?面CFA，SD不包含于面CFA，
∴SD∥平面CFA．
（Ⅱ）取BC中点O，连结AO、BO，
∴BO⊥BC，
∵∠ABC=45°，BC=2

2

，AB=2，∴AC=2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
又点O是BC的中点，
∴OA⊥BC，
∴BC⊥平面AOS，∴SA⊥BC．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．