Question

已知平面内一动点P到定点F（2，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于2．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．问：在x轴上是否存在点M，使得x轴平分∠AMB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据平面内一动点P到定点F（2，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于2，可得P到F的距离等于P到直线x=-2的距离，从而扩大圆心P的轨迹为以F（2，0）为焦点的抛物线，即可求得轨迹C的方程；
（Ⅱ）MQ平分∠AMB，k_AM=-k_MB，利用韦达定理，可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵平面内一动点P到定点F（2，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于2，
∴P到F的距离等于P到直线x=-2的距离，
∴圆心P的轨迹为以F（2，0）为焦点的抛物线，
∴轨迹C的方程为y²=8x；
（Ⅱ）设M（t，0），直线l：x=my+2，代入y²=8x可得y²-8my-16=0，
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16
∵MQ平分∠AMB，
∴k_AM=-k_MB，
∴y₂（x₁-t）+y₁（x₂-t）=0，
∴y₂（my₁+2-t）+y₁（my₂+2-t）=0，
∴2my₁y₂+（2-t）（y₁+y₂）=0，
∴2m•（-16）+（2-t）×8m=0，
∴2m（8-4t）=0，
∴t=2，即M（2，0），MQ平分∠AMB．

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．