Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面△ABC中，∠C=90°，BC=

2

，BB₁=2，O是AB₁的中点，D是AC的中点，M是CC₁的中点，
（1）证明：OD∥平面BB₁C₁C；  
（2）试证：BM⊥AB₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连B₁C利用中位线的性质推断出OD∥B₁C，进而根据线面平行的判定定理证明出OD∥平面BB₁C₁C．
（2）先利用线面垂直的性质判断出CC₁⊥AC，进而根据线面垂直的判定定理证明出AC⊥平面BB₁C₁C，进而可知AC⊥MB．利用证明△BCD∽△B₁BC，推断出∠CBM=∠BB₁C，推断出BM⊥B₁C，最后利用线面垂直的判定定理证明出BM⊥平面AB₁C，进而可知BM⊥AB₁．

解答： 证明：（1）连B₁C，∵O为AB₁中点，D为AC中点，
∴OD∥B₁C，
又B₁C?平面BB₁C₁C，OD?平面BB₁C₁C，
∴OD∥平面BB₁C₁C．
（2）连接B₁C，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴CC₁⊥平面ABC
AC?平面ABC，
∴CC₁⊥AC，
又AC⊥BC，CC₁，BC?平面BB₁C₁C，
∴AC⊥平面BB₁C₁C，BM?平面BB₁C₁C，
∴AC⊥MB．
在Rt△BCM与Rt△B₁BC中，

CM

BC

=

CB

BB1

=

2

2

，
∴△BMC∽△B₁BC，
∴∠CBM=∠BB₁C，
∴∠BB₁C+∠B₁BM=∠CBM+∠B₁BM=90°，
∴BM⊥B₁C，
AC，B₁C?平面AB₁C，
∴BM⊥AB₁C，
∵AB₁?平面AB₁C，
∴BM⊥AB₁．

点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．证明线线平行和线线垂直是解题的关键．