Question

如图，△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=90°，D，E分别为AB，AC上的点，DE∥BC，将△ADE沿DE折到△A′DE的位置，使平面A′DE⊥平面BCED．
（1）当D为AB的中点时，设平面A′BC与平面A′DE所成的二面角的平面角为α（0＜α＜

π

2

），直线A'C与平面A'DE所成角为β，求tan（α+β）的值；
（2）当D点在AB边上运动时，求四梭锥A′-BCED体积的最大值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）先找出α、β，求出tanβ=

2

2

，利用两角和的正切公式，求tan（α+β）的值；
（2）表示出求四梭锥A′-BCED体积，利用导数求最大值．

解答： 解：（1）作CF⊥DE于F，连接A′F，则CF⊥平面A′DE，
∴∠CA′F=β，
在矩形BCFD中，CF=BD=1，DF=BC=1，
在Rt△A′DF中，A′F=

2

，tanβ=

CF

A′F

=

2

2

，
作A′P∥DE，∵DE∥BC，
∴A′P∥BC，
∵平面A′BC∩平面A′DE=A′P，A′P⊥A′D，A′P⊥A′B，
∴∠BA′D=α=

π

4

，
∴tan（α+β）

1+ 2 2

1- 2 2

=3+2

2

（2）设A′D=x，x∈（0，2），则DE=

x

2

，BD=2-x，
∴四梭锥A′-BCED体积V=

1

3

•

( x 2 +1)(2-x)

2

•x=

4x-x3

12

，
∴V′=

4-3x2

12

，
令V′=0，可得x=

2 3

3

，且在（0，

2 3

3

）递增，在（

2 3

3

，2）递减，
∴x=

2 3

3

时，四梭锥A′-BCED体积的最大值为

4 3

27

．

点评：本题考查空间角，考查体积的计算，考查导数知识的运用，综合性强．