Question

15．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为AC的中点，且∠A=60°，a=2，$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BC}$=3，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据向量加法的平行四边形法则可知$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$）．代入$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BC}$=3即可得出$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$上的投影，根据三角形的性质得出△ABC为等边三角形．

解答 解：∵点D为AC的中点，∴$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$）
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$）$•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{2}{\overrightarrow{BC}}^{2}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$+2=3，
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=2|$\overrightarrow{BA}$|•cosB=2，
∴|BA|cosB=1，即$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$上的投影为1．
过A作AE⊥BC于E，则BE=1．即E为BC的中点，
∴△ABC是等腰三角形，又∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量在几何中的应用，属于中档题．