Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（1）求b的值；
（2）若直线y=2x和此函数的图象相切，求a的值；
（3）若当x∈[1，3]时，f(x)-a2＞

2

3

恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数的极值点处的导数值为零，因此对函数求导数，结合x=2是f（x）的一个极值点，得f′（2）=0，最后解关于b的方程，可得b的值为

3

2

；
（2）根据导数的几何意义，切线的斜率等于导数在切点处的值，因此设直线y=2x和函数的图象相切于点P（x₀，y₀），解方程f′（x₀）=2得x₀=0或3，再将其代入直线方程可以得到切点P的坐标为（0，0）或（3，6），最后将所得坐标代入f（x）的表达式，可得实数a的值；
（3）将不等式进行变量分离，变成

1

3

x3-

3

2

x2+2x-

2

3

＞a2-a，在x∈[1，3]时恒成立．记不等式的左边为F（x），通过求导数的方法得到F（x）在区间[1，3]上的最小值为F（2）=0，欲使不等式在区间[1，3]时恒成立，即这个最小值也大于a²-a，解不等式a²-a＜0，可得实数a的取值范围．

解答：解：（1）由题意，得f（x）导函数为：f′（x）=x²-2bx+2
∵x=2是f（x）的一个极值点，
∴f′（2）=0即2²-2b•2+2=0⇒b=

3

2

（2）由（1）得函数表达式为：f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+a
它的导数为f′（x）=x²-3x+2
设直线y=2x和函数的图象的切点为P（x₀，y₀）
由导数的几何意义得f′（x₀）=x₀²-3x₀+2=2
∴x₀=0或3
代入直线y=2x方程得：y₀=0或6
∴切点为（0，0）或（3，6）
①将切点（0，0）代入函数表达式，得f（0）=a=0
②将切点（3，6）代入函数表达式，得f（3）=

1

3

•3³-

3

2

•3²+2•3+a=6，得a=

9

2

综上所述，得a=0或a=

9

2

（3）当x∈[1，3]时，f(x)-a2＞

2

3

恒成立，
即

1

3

x3-

3

2

x2+2x+a-a2＞

2

3

在x∈[1，3]时恒成立
变量分离得：

1

3

x3-

3

2

x2+2x-

2

3

＞a2-a在x∈[1，3]时恒成立
说明

1

3

x3-

3

2

x2+2x-

2

3

在[1，3]上的最小值大于a²-a
记F（x）=

1

3

x3-

3

2

x2+2x-

2

3

，求得F′（x）=x²-3x+2
当x∈（1，2）时，F′（x）＜0，所以F（x）为（1，2）上的减函数
当x∈（2，3）时，F′（x）＞0，所以F（x）为（2，3）上的增函数
∴F（x）在[1，3]上的最小值为F（2）=

1

3

•23-

3

2

•22+2•2-

2

3

=0
∴a²-a＜0，解之得0＜a＜1

点评：本题考查了函数在某点取得极值的条件、利用导数求闭区间上函数的最值和导数的几何意义等知识点，属于中档题．