Question

【题目】设A、B分别为双曲线 的左右顶点，双曲线的实轴长为4 ，焦点到渐近线的距离为 ．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线 与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使 ，求t的值及点D的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由实轴长为 ，得 ，

渐近线方程为 x，即bx﹣2 y=0，

∵焦点到渐近线的距离为 ，

∴ ，又c2=b2+a2，∴b2=3，

∴双曲线方程为：

（2）解：设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，

由 ，

∴y1+y2= ﹣4=12，

∴ ，解得 ，∴t=4，

∴ ，t=4

【解析】（1）由实轴长可得a值，由焦点到渐近线的距离可得b，c的方程，再由a，b，c间的平方关系即可求得b；（2）设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），D（x0 ， y0），则x1+x2=tx0 ， y1+y2=ty0 ， 则x1+x2=tx0 ， y1+y2=ty0 ， 联立直线方程与双曲线方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可得x1+x2 ， 进而求得y1+y2 ， 从而可得 ，再由点D在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得D点坐标，从而求得t值；