Question

【题目】某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下频率分布直方图．

（1）求分数在[70，80）内的频率；
（2）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；
（3）用分层抽样的方法在80分以上的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．
（2）解：平均分为： ．
（3）解：由题意，[80，90）分数段的人数为：0.25×60=15人；

[90，100]分数段的人数为：0.05×60=3人；

∵用分层抽样的方法在80（分）以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，

∴[80，90）分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；[90，100]分数段抽取1人，记为M．

因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90（分），

则另一人的分数一定是在[80，90）分数段，所以只需在分数段[80，90）抽取的5人中确定1人．

设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于9（0分）”为事件A，

则基本事件空间包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）共15种．

事件A包含的基本事件有（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）5种．

∴恰有1人的分数不低于9（0分）的概率为

【解析】（1）由题意得分数在[70，80）内的频率等于1减去得分在[40，70]与[80，100]内的概率．（2）平均数为每个小长方形的面积乘以每个小长方形底边中点横坐标的和．（3）由题意，根据直方图计算出[80，90）分数段的人数为15人；[90，100]分数段的人数为3人；由分层抽样得在[80，90）与[90，100]分数段抽取人数分别为5人，1人．因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90（分），则另一人的分数一定是在[80，90）分数段，所以只需在分数段[80，90）抽取的5人中确定1人．再利用古典概型计算出事件发生的概率即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解频率分布直方图的相关知识，掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息，以及对平均数、中位数、众数的理解，了解⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量；⑵平均数、众数和中位数都有单位；⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广；⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据．