Question

【题目】若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f（﹣3）=0，则（x﹣1）f（x）＜0的解是（ ）
A.（﹣3，0）∪（1，+∞）
B.（﹣3，0）∪（0，3）
C.（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
D.（﹣3，0）∪（1，3）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数， ∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数，
又∵f（﹣3）=0，∴f（3）=0
∴当x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f（x）＜0；
当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＞0；
∵（x﹣1）f（x）＜0
∴ 或
解可得﹣3＜x＜0或1＜x＜3
∴不等式的解集是（﹣3，0）∪（1，3）
故选D．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用奇偶性与单调性的综合的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．