【题目】已知函数.
(1)若,求
的零点个数;
(2)若,
,证明:
,
.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
(1)将a的值代入f(x),再求导得,在定义域内讨论函数单调性,再由函数的最小值正负来判断它的零点个数;(2)把a的值代入f(x),将
整理化简为
,即证明该不等式在
上恒成立,构造新的函数
,利用导数可知其在定义域上的最小值,构造函数
,由导数可知其定义域上的最大值,二者比较大小,即得证。
(1)解:因为,所以
.
令,得
或
;令
,得
,
所以在
,
上单调递增,在
上单调递减,
而,
,
,
所以的零点个数为1.
(2)证明:因为,从而
.
又因为,
所以要证,
恒成立,
即证,
恒成立,
即证,
恒成立.
设,则
,
当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减.
所以.
设,则
,
当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减.
所以,所以
,
所以,
恒成立,
即,
.
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【题目】设,
分别是椭圆
的左,右焦点,
两点分别是椭圆
的上,下顶点,
是等腰直角三角形,延长
交椭圆
于
点,且
的周长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆
上异于
的动点,直线
与直
分别相交于
两点,点
,求证:
的外接圆恒过原点
.
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【题目】函数图象上不同两点
,
,
,
处的切线的斜率分别是
,
,规定
叫曲线
在点
与点
之间的“弯曲度”,给出以下命题:
(1)函数图象上两点
、
的横坐标分别为1,2,则
;
(2)存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数;
(3)设点、
是抛物线,
上不同的两点,则
;
(4)设曲线上不同两点
,
,
,
,且
,若
恒成立,则实数
的取值范围是
;
以上正确命题的序号为__(写出所有正确的)
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【题目】已知二次函数,不等式
的解集有且只有一个元素,设数列
的前
项和
.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足
,求数列
的前
项和
.
(3)设各项均不为0的数列中,满足
的正整数
的个数称为这个数列
的变号数,令
,求数列
的变号数.
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【题目】已知,点
是圆
上一动点,动点
满足
,点
在直线
上,且
.
(1)求点的轨迹
的标准方程;
(2)已知点在直线
上,过点
作曲线
的两条切线,切点分别为
,记点
到直线
的距离分别为
,求
的最大值,并求出此时
点的坐标.
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【题目】某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如下:
等级 | 不合格 | 合格 | ||
得分 | ||||
频数 | 6 | 24 |
(1)由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数;
(2)其他条件不变,在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈,每次抽取1人,求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下,第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率;
(3)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为,求
的数学期望
.
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