Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数，当且，求证：.

Answer 1

【答案】（1）当时在递增；当时增区间为；减区间为.（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据函数解析式，求得定义域及导函数，讨论的取值情况，即可判断导函数符号，进而可得函数的单调区间；

（2）将代入解析式，并将两个解析式代入不等式化简可得.当易证不等式成立，当时，结合可将不等式化为，构造函数，并求得，再构造函数，并求得.根据零点存在定理可证明存在使得，即在上单调递减，在上单调递增；由，，可证明的单调情况，进而可知在处取得最小值，即证明即可证明成立.

（1）函数.

函数定义域为，

当时，可知，所以在单调递增；

当时，令，

解得，

所以当时，；

当时；

故此时单调增区间为；单调减区间为；

综上所述：当时在递增；

当时增区间为；减区间为.

（2）证明：将代入函数解析式可得，，定义域为，

要证，即证，

①当时，，，不等式显然成立，

②当时，，结合已知可得，，

于是转化为，即证，

令，则，

令，则，且在上单调递增，

∵，，存在使得，即，

∴在上单调递减，在上单调递增，

又，，

故当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

∴，

故，得证.