【题目】圆:
(
)过点
,离心率为
,其左、右焦点分别为
,
,且过焦点
的直线
交椭圆于
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若点的坐标为
,设直线
与直线
的斜率分别为
,试证明:
.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)证明见解析
【解析】
(Ⅰ)由椭圆过点
以及离心率为
,结合
,列方程组求解,即可得椭圆方程;
(Ⅱ)方法一:先考虑直线斜率不存在的情况,再考虑斜率存在的情况,对于斜率存在的情况,设直线
:
,
与椭圆交点
,
,联立直线
与椭圆
的方程,消去
并整理,利用判别式及韦达定理,从而可表示出
,然后化简求解即可;
方法二:先考虑直线斜率为0的情况,再考虑直线
斜率不为0时,对于斜率不为0的情况,设直线
,后续过程同方法一.
(Ⅰ)椭圆
:
(
)过点
,
.①
又椭圆
离心率为
,
,
.②
联立①②得,解得
,
椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)方法一:
当直线斜率不存在时,
则,
;
当直线斜率存在时,
设直线:
,
与椭圆交点
,
.
联立,
消去并整理得
.
由于,
,
,
,
,
.
综上所述,.
方法二:
当直线斜率为0时,
,则
;
当直线斜率不为0时,
设直线:
设
与椭圆交点
,
,
联立,
消去并整理得
.
由于,
,
,
.
,
综上所述,.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线
的焦点为
,准线为
,
是抛物线上
上一点,且点
的横坐标为
,
.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点的直线
与抛物线
交于
、
两点,过点
且与直线
垂直的直线
与准线
交于点
,设
的中点为
,若
、
、
四点共圆,求直线
的方程.
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【题目】设,
分别是椭圆
的左,右焦点,
两点分别是椭圆
的上,下顶点,
是等腰直角三角形,延长
交椭圆
于
点,且
的周长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆
上异于
的动点,直线
与直
分别相交于
两点,点
,求证:
的外接圆恒过原点
.
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【题目】谢尔宾斯基三角形(英语:Sierpinskitriangle)是一种分形,由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.具体操作是:先取一个实心正三角形(图1),挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)(图2),然后在剩下的三个小三角形中又各挖去一个“中心三角形”(图3),我们用黑色三角形代表剩下的面积,用上面的方法可以无限连续地作下去.若设操作次数为3(每挖去一次中心三角形算一次操作),在图中随机选取一个点,则此点取自黑色三角形的概率为__________.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知直线
的参数方程为
(
为参数,
),以原点
为极点,以
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出直线的极坐标方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
相交于
,
两点,且
,求
的值.
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【题目】函数图象上不同两点
,
,
,
处的切线的斜率分别是
,
,规定
叫曲线
在点
与点
之间的“弯曲度”,给出以下命题:
(1)函数图象上两点
、
的横坐标分别为1,2,则
;
(2)存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数;
(3)设点、
是抛物线,
上不同的两点,则
;
(4)设曲线上不同两点
,
,
,
,且
,若
恒成立,则实数
的取值范围是
;
以上正确命题的序号为__(写出所有正确的)
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【题目】某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如下:
等级 | 不合格 | 合格 | ||
得分 | ||||
频数 | 6 | 24 |
(1)由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数;
(2)其他条件不变,在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈,每次抽取1人,求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下,第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率;
(3)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为,求
的数学期望
.
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