Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线相交于，两点，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）消去参数，即可求得直线的普通方程，再化简为直角方程即可；利用公式，，即可求得曲线的直角坐标方程；

（2）联立直线的极坐标方程和曲线的极坐标方程，求得，代值计算即可.

（1）由（为参数，），得

当时，直线的普通方程是，其极坐标方程为和；

当时，消去参数得，直线过原点、倾斜角为，

其极坐标方程为和.

综上所述，直线的极坐标方程为和，

也可以写成.

由，得，

又因为，，

所以，整理得.

（2）设，，

解方程组，得，即；

解方程组，得，即.

所以，

又已知，所以.