Question

【题目】已知，其中．

（1）当时，设函数，求函数的极值．

（2）若函数在区间上递增，求的取值范围；

（3）证明：．

Answer 1

【答案】（1）极大值，无极小值；（2）．（3）见解析

【解析】

（1）先求导，根据导数和函数极值的关系即可求出；

（2）先求导，再函数在区间上递增，分离参数，构造函数，求出函数的最值，问题得以解决；

（3）取得到，取，可得

，累加和根据对数的运算性和放缩法即可证明.

解：（1）当时，设函数，则

令，解得

当时，，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减

所以当时，函数取得极大值，即极大值为，无极小值；

（2）因为，

所以，

因为在区间上递增，

所以在上恒成立，

所以在区间上恒成立．

当时，在区间上恒成立，

当时，，

设，则在区间上恒成立．

所以在单调递增，则，

所以，即

综上所述．

（3）由（2）可知当时，函数在区间上递增，

所以，即，

取，则

．

所以

所以