Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为线段上一点，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）过作，交于点，连，然后利用中位线定理结合已知条件证明得是平行四边形，从而利用平行四边形的性质可使问题得证；（2）根据已知条件结合线面垂直的性质定理推出平面，由此可求得点到平面的距离．

试题解析：（1）过N作NE∥BC，交PB于点E，连AE，

∵CN＝3NP，∴EN∥BC且EN＝BC，

又∵AD∥BC，BC＝2AD＝4，M为AD的中点，

∴AM∥BC且AM＝BC，∴EN∥AM且EN＝AM，

∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE，

又∵MN平面PAB，AE平面PAB，∴MN∥平面PAB． …6分

（2）连接AC，在梯形ABCD中，

由BC＝2AD＝4，AB＝CD，∠ABC＝60°，得AB＝2，∴AC＝2，AC⊥AB．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC．

又∵PA∩AB＝A，∴AC⊥平面PAB．

又∵CN＝3NP，∴N点到平面PAB的距离d＝AC＝． …12分