【题目】在如图所示的三棱锥中,
是边长为2的等边三角形,
,
是
的中位线,
为线段
的中点.
(1)证明:.
(2)若二面角为直二面角,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)如图,由中位线可得,取
的中点为
,取
的中点
,连接
,可证
平面
,从而可证
.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系,计算出平面的法向量和平面
的法向量的夹角的余弦值后可得二面角
的余弦值.
(1)如图,取的中点为
,取
的中点
,连接
.
因为是边长为2的等边三角形,
,所以
.
因为,故
,故
.
因为,所以
且
,所以
.
因为,故
,所以
.
因为,
平面
,
平面
,故
平面
,
因为平面
,
.
因为,故
,所以
.
(2)由(1)可得,
所以为二面角
的平面角,
因为二面角为直二面角,所以
即
.
建立如图所示的空间直角坐标系,
则.
故,
,
.
设平面的法向量为
,
则即
,故
,取
,则
,
所以.
设平面的法向量为
,
则即
,取
,则
,
故,
所以,
因为二面角的平面角为锐角,
故二面角的余弦值为
.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),在以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴的极坐标中,圆
的方程为
.
(1)写出直线的普通方程和圆
的直角坐标方程;
(2)若点的坐标为
,圆
与直线
交于
两点,求
的值.
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【题目】谢尔宾斯基三角形(英语:Sierpinskitriangle)是一种分形,由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.具体操作是:先取一个实心正三角形(图1),挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)(图2),然后在剩下的三个小三角形中又各挖去一个“中心三角形”(图3),我们用黑色三角形代表剩下的面积,用上面的方法可以无限连续地作下去.若设操作次数为3(每挖去一次中心三角形算一次操作),在图中随机选取一个点,则此点取自黑色三角形的概率为__________.
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【题目】已知函数(
),
.
(1)若的图象在
处的切线恰好也是
图象的切线.
①求实数的值;
②若方程在区间
内有唯一实数解,求实数
的取值范围.
(2)当时,求证:对于区间
上的任意两个不相等的实数
,
,都有
成立.
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【题目】函数图象上不同两点
,
,
,
处的切线的斜率分别是
,
,规定
叫曲线
在点
与点
之间的“弯曲度”,给出以下命题:
(1)函数图象上两点
、
的横坐标分别为1,2,则
;
(2)存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数;
(3)设点、
是抛物线,
上不同的两点,则
;
(4)设曲线上不同两点
,
,
,
,且
,若
恒成立,则实数
的取值范围是
;
以上正确命题的序号为__(写出所有正确的)
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【题目】已知二次函数,不等式
的解集有且只有一个元素,设数列
的前
项和
.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足
,求数列
的前
项和
.
(3)设各项均不为0的数列中,满足
的正整数
的个数称为这个数列
的变号数,令
,求数列
的变号数.
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【题目】已知,点
是圆
上一动点,动点
满足
,点
在直线
上,且
.
(1)求点的轨迹
的标准方程;
(2)已知点在直线
上,过点
作曲线
的两条切线,切点分别为
,记点
到直线
的距离分别为
,求
的最大值,并求出此时
点的坐标.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的方程为
,定点
,点
是曲线
上的动点,
为
的中点.
(1)求点的轨迹
的直角坐标方程;
(2)已知直线与
轴的交点为
,与曲线
的交点为
,若
的中点为
,求
的长.
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