Question

【题目】如图，椭圆的左、右焦点分别为、，，点A为椭圆C上异于左右顶点的任意一点，A关于原点O的对称点为B，，且．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若是A关于x轴的对称点，设点，连接NA，直线NA与椭圆C相交于点E，直线与x轴相交于点M，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（1）根据椭圆的对称性可得，再由，可解得，即得；（2）设出直线方程和，两点坐标，由对称性可得的坐标，即得直线的方程，令，将直线NA的方程和椭圆方程联立，再利用韦达定理，对其进行化简，即得M的坐标.

（Ⅰ）由椭圆的对称性可知，∴．故，得，又，，，．∴椭圆C的标准方程为

（Ⅱ）显然，直线NA的斜率存在，且不为0，设直线NA的方程为．

代入椭圆C的方程，得．

由题知，，得，

设，，则，，．

∴直线的方程为，令，可得

．

∴