【题目】抛物线的准线与
轴交于点
,过点
作直线
交抛物线于
,
两点.
(1)求直线的斜率的取值范围;
(2)若线段的垂直平分线交
轴于
,求证:
;
(3)若直线的斜率依次为
,
,
,…,
,…,线段
的垂直平分线与
轴的交点依次为
,
,
,…,
,…,求
.
【答案】(1)k∈(﹣1,0)∪(0,1);(2)见解析(3)
【解析】
(1)求得抛物线的准线方程,可得M的坐标和直线l的方程,联立抛物线方程,运用判别式大于0,即可得到所求范围;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),运用韦达定理和中点坐标公式,以及两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,可得AB的垂直平分线方程,可令y=0,求得x,即可得证;
(3)设Nm(xm,0),求得,所以
,由等比数列的求和公式,即可得到所求和.
(1)抛物线y2=2x的准线为x,
,设l:
,
联立直线与抛物线的方程:(*).
因为l交抛物线于两点,所以k≠0且二次方程(*)根的判别式△>0,
即(k2﹣2)2﹣k4>0,
解得k∈(﹣1,0)∪(0,1);
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),
由韦达定理可得,
,
所以AB中点的坐标为,
所以AB中垂线方程为,
令y=0,可得.
(3)设Nm(xm,0),由直线l的斜率依次为,
可得xm,
则,
所以,
(
)
,
所以.
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【题目】如图所示,某小区为美化环境,准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC,另一侧修建一条休闲大道.休闲大道的前一段OD是函数的图象的一部分,后一段DBC是函数
的图象,图象的最高点为
,且
,垂足为点F.
(1)求函数的解析式;
(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE,点P在曲线OD上,其横坐标为,点E在OC上,求儿童乐园的面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】双曲线的左、右焦点为
,
,
为
右支上的动点(非顶点),
为
的内心.当
变化时,
的轨迹为( )
A.直线的一部分B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分D.无法确定
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【题目】市政府招商引资,为吸引外商,决定第一个月产品免税,某外资厂该第一个月A型产品出厂价为每件10元,月销售量为6万件;第二个月,当地政府开始对该商品征收税率为 ,即销售1元要征收
元)的税收,于是该产品的出厂价就上升到每件
元,预计月销售量将减少p万件.
(1)将第二个月政府对该商品征收的税收y(万元)表示成p的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)要使第二个月该厂的税收不少于1万元,则p的范围是多少?
(3)在第(2)问的前提下,要让厂家本月获得最大销售金额,则p应为多少?
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【题目】已知圆M:与
轴相切.
(1)求的值;
(2)求圆M在轴上截得的弦长;
(3)若点是直线
上的动点,过点
作直线
与圆M相切,
为切点,求四边形
面积的最小值.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】试题分析:(1)先将圆的一般方程化成标准方程,利用直线和圆相切进行求解;(2) 令,得到关于
的一元二次方程进行求解;(3)将四边形的面积的最小值问题转化为点到直线的的距离进行求解.
试题解析:(1) ∵圆M:
与
轴相切
∴ ∴
(2) 令,则
∴
∴
(3)
∵的最小值等于点
到直线
的距离,
∴ ∴
∴四边形面积的最小值为
.
【题型】解答题
【结束】
20
【题目】在平面直角坐标系中,圆
的方程为
,且圆
与
轴交于
,
两点,设直线
的方程为
.
(1)当直线与圆
相切时,求直线
的方程;
(2)已知直线与圆
相交于
,
两点.
(ⅰ)若,求实数
的取值范围;
(ⅱ)直线与直线
相交于点
,直线
,直线
,直线
的斜率分别为
,
,
,
是否存在常数,使得
恒成立?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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