Question

某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2009年9月以来的第n个月（2009年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量与出口量的和）分别为b_n、c_n和a_n(单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：b_{n + 1} = a. a_n，c_{n + 1} = a_n + b .a_n² （其中a、b为常数），已知a₁ = 1万件，a₂ = 1.5万件，a₃ = 1.875万件．

    （1）求a，b的值，并写出a_{n + 1}与a_n满足的关系式；

    （2）试用你所学的数学知识论证销售总量a_n逐月递增且控制在2万件内；

    （3）试求从2009年9月份以来的第n个月的销售总量a_n关于n的表达式．

Answer 1

【解析】（1）依题意：a_{n + 1} = b_{n + 1} + c_{n + 1} = a a_n + a_n + b a_n²，

则a₂ = a a₁ + a₁ + b a₁²    ∴a + 1 + b =            ①

则a₃ = a a₂ + a₂ + b a₂²   ∴            ②

解①②得a = 1，b = –  从而a_{n + 1} = 2a_n –a_n² (n∈N*)    

（2）证法（Ⅰ）由于a_{n + 1} = 2a_n –a_n² = – (a_n – 2)² + 2≤2．         

但a_{n + 1}≠2，否则可推得a ₁= a ₂= 2与a ₁= 1，a₂ = 1.5矛盾．故a_{n + 1}＜2  于是a_n＜2

又a_{n + 1}– a_n= –a_n² + 2a_n – a_n = –a_n (a_n – 2) ＞0，

所以a_{n + 1}＞a_n 从而a_n＜a_{n + 1}＜2            

证法（Ⅱ）由数学归纳法

（i）当n = 1时，a₁ = 1，a₂ = 1.5，显然a₁＜a₂＜2成立

（ii）假设n = k时，  a_k＜a_{k + 1}＜2成立．

由于函数f (x) = –x² + 2x = –(x – 2)² + 2在[0，2]上为增函数，

则f (a_k) ＜f (a_{k + 1}) ＜f (2)即a_k (4 – a_k) ＜a_{k + 1}(4 –a_{k + 1}) ＜×2×(4 – 2)

 即 a_{k + 1}＜a_{k + 2}＜2成立． 综上可得n∈N*有a_n＜a_{n + 1}＜2  

（3）由a_{n + 1} = 2a_n –a_n²得2 (a_{n + 1}– 2) = – (a_n – 2)²  即(2 – a_{n + 1}) = (2 – a_n)2

又由（2）a_n＜a_{n + 1}＜2可知2 – a_{n + 1}＞0，2 – a_n＞0  

则lg (2 – a_{n + 1}) = 2 lg (2 – a_n) – lg 2   ∴lg (2 – a_{n +1}) – lg2 = 2[lg (2 – a_n) – lg2]

即{lg (2 – a_{n + 1}) – lg2}为等比数列，公比为2，首项为lg (2 – a₁) – lg 2 = –lg 2

故lg (2 – a_n) – lg 2 = (–lg 2)·2^{n – 1} ∴a_n = 2 – 2.  (n∈N*)为所求