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若函数f(x)同时具有以下两个性质:①f(x)是偶函数;②对任意实数x,都有f(
π
4
+x)=f(
π
4
-x)
,则f(x)的解析式可以是(  )
分析:考查各个选项中的函数是否是偶函数,且图象关于x=
π
4
对称,同时满足这两个条件的函数即为所求.
解答:解:由题意可得函数f(x)是偶函数且图象关于x=
π
4
对称.
由于f(x)=cos2x的图象的对称轴为2x=kπ,k∈z,即 x=
2
,k∈z,故不满足条件.
由于f(x)=cos(2x+
π
2
)
=-sin2x,不是偶函数,故不满足条件.
由于f(x)=xos6x的对称轴为 6x=kπ,k∈z,即 x=
6
,k∈z,故不满足条件.
由于f(x)=sin(4x+
π
2
)=-cos4x,是偶函数,且对称轴为4x=kπ,k∈z,即 x=
π
4
,k∈z,故满足条件.
故选D.
点评:本题考查三角函数的奇偶性和对称性,以及诱导公式的应用,属于基础题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

若函数f(x)同时具有以下两个性质:①f(x)是偶函数;②对任意实数x,都有f(-x+
π
4
)=f(x+
π
4
),则下列函数中,符合上述条件的有
 
.(填序号)
①f(x)=cos4x;
②f(x)=sin(2x+
π
2
);
③f(x)=sin(4x+
π
2
);
④f(x)=cos(
2
-
4x).

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若函数f(x)同时具有以下两个性质:①f(x)是偶函数;②对任意实数x,都有f(
π
4
+x)=f(
π
4
-x)
,则f(x)的解析式可以是(  )
A.f(x)=cos2xB.f(x)=cos(2x+
π
2
)
C.f(x)=cos6xD.f(x)=sin(4x+
π
2
)

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科目:高中数学 来源:2006年江苏省南通中学高三数学调研试卷(解析版) 题型:选择题

若函数f(x)同时具有以下两个性质:①f(x)是偶函数;②对任意实数x,都有,则f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=cos2
B.
C.f(x)=cos6
D.

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科目:高中数学 来源:2010年11月上海市大同中学高三数学练习试卷(三角专项)(解析版) 题型:选择题

若函数f(x)同时具有以下两个性质:①f(x)是偶函数;②对任意实数x,都有,则f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=cos2
B.
C.f(x)=cos6
D.

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