Question

如图，直线y＝x－2与抛物线y²＝2x相交于点A，B，求证：OA⊥OB．

Answer 1

答案：
解析：

　　解法一：将y＝x－2代入y²＝2x，得

　　(x－2)²＝2x．

　　化简得x²－6x＋4＝0，

　　解得x＝3±．

　　则y＝3±－2＝1±．

　　∵k_OA＝，k_OB＝，

　　∴k_OA·k_OB＝·＝－1，

　　∴OA⊥OB．

　　解法二：同解法一得方程x²－6x＋4＝0　　①

　　由一元二次方程根与系数的关系，可知

　　x₁＋x₂＝6，x₁·x₂＝4，

　　∵y₁＝x₁－2，y₂＝x₂－2，

　　∴y₁y₂＝(x₁－2)(x₂－2)

　　＝x₁·x₂－2(x₁＋x₂)＋4

　　＝4－12＋4＝－4．

　　∴k_OA·k_OB＝·＝－1．

　　∴OA⊥OB．